Aksiomatika ; Pengantar Dasar Matematika

PENGANTAR

Dalam bagian ini akan dibicarakan serba sedikit hal-hal tentang sifat matematika yang mendasar. Dikatakan serba sedikit karena memang tidak akan banyak diuraikan secara mendalam. Namun dalam uraian yang disajikan dalam bagian ini pembaca diharapkan mempunyai pandangan yang semakin jelas tengatng pla pemikiran dalam matematika. Apakah sebenarnya hakikat matematika itu ? defenisi matematika yang manakah yang diterima secara mutlakselama ini ? untuk menjawab hal itu memanglah tidak mudah, sama tidak mudahnya dengan seorang buta “ menggambarkan bentuk tubuh gaja” bila ia hanya meraba sebbagian – sebagian dari tubuh gajah, maka mungkin ia akan mengatakan kaki gajah seperti tiang rumah atau pohon yang besar. Sewaktu meraba yang lainnya dia mungkin mengatakan bahwa gajah seperti seekor ular, demikian seterusnya. Jadi tidak mengherankan kalau ada pihak yang mendefenisikan matematika sebagai ‘ ilmu yang mempelajari struktur dan pola’. Lain pihak mengatakan bahwa matematka adalah ‘ilmu tentang bilangan’. Pihak lain lagi mengatakan bahwa matematika adalah ‘ilmu yang mempelajari bangun-bangun abstrak’ dsb. Meskipun terdapat berbagai pendapat yang nampak berlain-lain ini, tetapi dapat ditarik ciri-ciri yang sama, antara lain :
1. matematika memiliki obyek kajian yang abstrak
2. matematika mendasarkan diri pada kesepakatan-kesepakatan.
3. matematika sepenuhnya menggunakan pola pikir deduktif.
4. matematika dijiwai dengan kebenaran konsistensi.
Adapun obyek dasar matematika yang menjadi bahan kajian dasar adalah (1) fakta,(2)konsep,(3)relasi-operasi(4)prinsip. Untuk memahami bahwa obyek kajian matematika itu adalah abstrak dapat diingat pelajaran yang pernah dikaji selama ini. Misalnya,’bilangan’ adalah abstrak, sedang yang kita tulis adalah lambangnya atau simbolnya. Lambang-itulah yang termasuk dalam ‘fakta’. Sedangkan bilangan sendiri adalah suatu konsep abstrak. ‘garis lurus’ misalnya, adalah abstrak. Sebenarnya tidak pernah dijumpai garis lurus yang dibicarakan dalam matematika. Yang digambar dengan penggaris adalah gambaran garis lurus. Demikian juga bangun-bangun geometri.( kerna abstrak itulah maka diperlukan peragaan-peragaan untuk mempermudah mengajarinya).
Berbagai macam istilah serta pengertiannya merupakan kesepakatan-kesepakatan ang penting dalam matematika. Lambang bilangan yang dipakai sekarang ini misalnya, adalah juga suatu kesepakatan. Setelah kesepakatan- kesepakatan semacam itu, maka dalam pembahasan selanjutnya secara konsisten digunakan.
Sebagaimana beberapa ilmu yan lain maka sifatsifat atau prinsip-prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif ataupun induktif. Dengan kata lain sifat-sifat atau prinsip-prinsip dalam matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman lapangan, ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah secara intuitif. Skema dibawah ini menunjukan kemungkinan-kemungkinan itu :



Dibangunya teorema phytagoras, dibangunya teorema euler adalah dan kenyatan-kenyataan dilapangan. Melalui suatu abstraksi tertentu dicapai generalisasi. Namun kemudian dengan menggunakan pola pikir deduktif dapat dibuktikan kebenaran teorema-teorema tersebut. Dalam proses itu jelas adanya daya krestifitas para penemunya. Berikut ini ditunjukan contoh bagaimana daya kreaktivitas dan intuisi bekerjasama untuk menemukan suatu sifat dalam geometri.

Mula-mula diamati dua buah garis sejajar g dan h, dan titik A,B,C digaris g sedangkan titik P,Q,R di garis h. kemudian masing-masing titik dihubungkan dengan setiap titik digaris lain. Ternyata tampak ada tiga titik potong garis-garis hubung itu yang terletak pada satu garis lurus, yaitu X,Y,Z.
Bagaimanakah halnya dengan garis gdan h yang tidak sejajar? Bagaimana halnya dengan garis g dan h yang tidak lurus? Bagaimana halnya dengan kedua garis itu merupakan bagian dari sebuah lingkaran?
Ternyata selalu ditemukan tiga macam titikX,Y,Z yang segaris. Selanjutnya temuan itu harus dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan kesepakatan-kesepakatan atau sifat-sifat yang sudah ada. Jadi akhirnya haruslah digunakan pola pikir deduktif.

PENGERTIAN PANGKAL DAN PERNYATAAN PANGKAL

Dalam kehidupan keseharian waktu ini selalu dijumpai pendapat bahwa 2+3 haruslah 5. mengapa? Sebenarnya meskipun secara khusus tidak ditulis lagi, dalam keseharian itu telah’disepakati’ bahwa kita selalu bicara dalam ruang lingkup bilangan dengan basis sepuluh. Demikian juga simbol atau lambang bilangan yang dipakai, telah disepakati.(coba renungkan ada seorang peserta seminar yang bertanya :’kapan kesepakatan itu dimulai atau diadakan?’. Untuk menjawab itu tidak bisa tidak kita harus hormat kepada guru-guru SD kita dulu). Dengan kata lain kalau diubah ‘basis bilangannya’ akan diperoleh jawaban yang lain. Ini berarti bahwa semesta atau invers pembicaraan yang harus amat diperhatikan dalam matematika. Dan dalam setiap semesta itu diperlukan adanya pangkal-pangkal kesepakatan. Pangkal-pangkal kesepakatan itu dapat berupa ‘pernyataan’ dan dapat pula berupa ‘pengertian atau unsur’ tertentu.
Umumnya disepakati bahwa dalam suatu struktur matematika (terdapat banyak struktur dalam matematika ). Terdapat ‘pernyataan pangkal’ atau biasa disebut ‘aksioma’ dan ‘pengertian atau unsur pangkal’ atau sering disebut ‘unsur primitif atau undefined term’. Aksioma diperlukan dalam suatu struktur matematika agar dapat dihindari ‘berputar-putar dalam pembuktian’ atau ‘circulus in probando’. Sedangkan unsur primitif dalam suatu struktur matematika perlu untuk menghindarkan ‘berputar-putar dalam pendefenisian’ atau ‘ circulus in definiendo’. Hal tersebut sekaligus menunjukan bahwa kebenaran suatu pernyataan dalam matematika sangat tergantung pada kebenaran pernyataan-pernyataan dan unsur-unsur terdahulu yang telah ditentukan kebenaran koherensi atau kebenaran konsistensi. Contoh yang mudah diingat dan dipahami dapat diambil dari geometri euklid :
1. titik,garis,dan bidang dipandang sebagai unsur primitif
2. melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lutus dibuat, sebagai salahsatu aksioma.
Dari unsur-unsur primitif dan aksioma tertentu dapat ditentukan suatu pernyataan lain yang sering disebut sebagai ‘ teorema’. Demikian juga dapat dibuat defenisi tentang suatu konsep lain.
MEMBEDAKAN BEBERAPA AKSIOMA
Dibagian terdahulu telah dijelasakan tentang aksioma. berikut ini akan dijelaskan lebih lanjut tentang beberapa aksioma yang dapat membentuk suatu sistem aksioma.
1. Sistem aksioma dan syaratnya
Untuk suatu struktur matematika biasanya didahului dengan beberapa unsur primitif dan beberapa pernyataan atau aksioma. Agar suatu kumpulan aksioma dapat merupakan sebuah sistem (tentu yang dihgarapkan produktif), diperlukan syarat-syarat yang penting. Syarat-syarat yang penting itu adalah :
1. konsisten (taat asas)
2. independen (bebas)
3. komplit atau lengkap
4. ekonomis.
Dari ketiga syarat tersebut yang utama adalah nomor (1),(2)dan(3), sebab nomor (4) seringkali dapat juga dipandang sebagai akibat syarat nomor 2.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat ‘konsisten’ bila pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Non-kontradiksi itu bukan hanya dalam makna pernyataannya tetapi juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat ‘independen’ bila masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung, artinya pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak dapat diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain.
Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat ‘ekonomis’ bila simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan tidak berlebihan(tidak redundan), selain itu juga pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama.
2.klasifikasi aksioma
Dalam setiap ilmu terdapat suatu cara klasifikasi. Dan masing-masing secara klasifikasi itu tentu saja memiliki dasar tertentu. Klasifikasi yang diadakan tidak dimaksudkan untuk mempersulit mereka yang mempelajarinya, makalah sebaliknya akan tetapi dapat mempermudah mereka yang mempelajari ilmu tersebut.
Dalam matematika dikenal beberapa klasifikasi aksioma. Berikut ini diperkenalkan cara klasifikasi, yakni (1) aksioma yang ‘self evident truth’ dan (2) aksioma ‘material’,’formal’dan ‘diformal’. Sudah tentu suatu aksioma dapat disoroti dari kaca mata cara klasifikasi itu.
Klasifikasi-1.
Suatu aksioma dikatakan ‘self evident truth’ bila dalam pernyataan memang telah langsung tergambar kebenaranya. Ini tampak jelas pada aksioma dari geometri Euclides, misalnya dalam planimetri : ‘melalui dua buah titik berlainan hanya dapat dibuat tepat satu garis’
Sedangkan lawan dari itu yaitu yang ‘non-self evident truth’ akan terlihat sebagai pernyataan yang mengaitkan fakta, dan konsep (dapat lebih dari satu) dengan menggunakan suatu relasi tertentu. Sehingga lebih terlihat sebagai suatu kesepakatan saja. Ingat sistem aksiomanya suatu ruang metrik, suatu grup, suatu topologi, suatu poset, dan masih banyak lagi yang lain. Justru cara pengangkatan aksioma semacam itulah yang memberikan kemungkinan lebih besar atas perkembangan matematika .
Klasifikasi-2
Suatu aksioma dikatakan aksioma ‘material’ bila unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma itu masih berkaitan langsung dengan realitas atau dikaitkan langsung dengan materi tertentu atau dianggap ada yang sudah diketahui.
(perhatikan aksioma Euclid yang diketahui ternyata bahwa tidak lengkap ).
Suatu aksioma dikatakan ‘ aksioma formal’ jika unsur-unsurnya dikosongkan dari arti, namun maish dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa antara lain terlihat dengan masih bermaknanya kata ‘atau’ ‘dan’ dsb, dalam logika.
(perhatikan logika dalam aljabar abstrak)
Suatu aksioma dikatakan ‘aksioma yang diformalkan’ bila semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian sehingga semua unsur diperlukan sebagai simbol belaka.
(renungkan pernyataan ini: ‘hakim tertinggi dalam matematika yang dapat menentukan apakah suatu pernyataan benar atau salah adalah STRUKTURNYA sedangkan hakim tertinggi dalam IPA adalah REALITAS ).

KONSEP BUKAN PANGKAL

Di bagian terdahulu dikemukakan adanya pengertian atau unsur primitif, secara kurang dapat sering juga disebut ‘konsep tak didefenisikan’. Dalam suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsep-konsep semacam ini dalam tulisan ini disebut konsep bukan pangkal. Selain itu dalam tulisan ini pengertian konsep yang dipakai adalah : ‘ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan penggolongan atau klasifikasi’. Dan suatu konsep dapat dibentuk melalui suatu abstraksi. Sebagai contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari kita dapat mengatakan bahwa sepeda, kereta api, mobil, becak, adalah kendaraan. Tetapi rumah, pohon, batu bukanlah kendaraan. Ini berarti ‘kendaraan’ adalah suatu konsep. Konsep kendaraan itu dapat saja dipandang sebagai suatu abstraksi dari beberapa kendaraan khusus tertentu.
1. Konsep dan pembentukanya
Dibagian atas telah disebutkan selintas tentang pembentukan konsep. Demikian juga pengertian konsep yang digunakan dalam tulisan ini. Dalam matematika dikenal anyak konsep. Misalnya : ‘segitiga’.’segiempat’,dsb. Dikenal juga konsep ‘ruang metrik’,’group’,dan masih banyak lagi.
Kalau disebut ‘ segitiga’ maka ide itu dapat digunakan untuk melakukan pengelompokan atau klasifikasi, sedemikian sehingga suatu bangun datar dapat termasuk segitiga ataukah tidak. Demikian juga konsep-konsep yang lain. Bagaimana pembentukan suatu konsep itu? Pembentukan suatu konsep dapat melalui :
1. abstraksi , misalnya : pembentukan bilangan dilakukan melalui dua kali abstraksi.
2. idealisasi, misalnya: ‘kerataan’ suatu bidang dan ‘kelurusan’ suatu garis.
3. abstraksi dan idealisasi, misalnya : ‘kubus’,’kerucut’.
4. penambahan syarat pada konsep terdahulu, misalnya : ‘belahketupat’ dari ‘jajaran genjang’.
2. Defenisi atau batasan
Dibagian atas pembentukan suatu konsep ditunjukan dengan penekanan pada prosesnya. Sedangkan agar dapat jelas dan dapat digunakan secara operasional perlu diungkap dalam suatu kalimat yang memuat pembatasan-pembatasan.
Jadi defenisis suatukonsep adalah ‘ungkapan yang dapat digunakan untuk membatasi suatu konsep’
‘trapesium’ adalah suatu konsep. Sedangkan defenisi dari trapesium misalnya : ‘trapesium adalah segiempat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong garis yang sejajar salah satu sisinya’. Inilah ungkapan yang membatasi konsep trapesium itu. Suatu ungkapan yang membatasi suatu konsep belum memiliki nilai benar atau salah, tetapi setelah ditetapkan atau disepakati dalam suatu struktur maka selanjutnya ungkapan itu memiliki nilai benar.
Defenisi atau ungkapan yang membatasi suatu konsep ada beberapa jenis :
1. beberapa jenis defenisi :
defenisi suatu konsep dapat dibedakan menjadi :
a. Defenisi Analitik
Suatu defenisi dikatakan bersifat analitik bila defenisi tersebut menyebutkan genus proksimum dan deferensia spesifika.(genus : keluarga terdekat,deferensia spesifika:pembeda khusus)
Perhatikan defenisi berikut ini(dalam suatu struktur defenisi tertentu)
. Belah ketupat adalah jajaran genjang yang ………….
. belah ketupat adalah segiempat yang ……………….
Yang pertama menunjukan genus proksimum yaitu ‘ jajaran genjang’, sedangkan yang kedua tidak menyebutkan genus proksimum, yang berakibat tidak ekonomis. Sedangkan deferensia spesifikanya adalah keterangan yang terdapat di belakang kata ‘ yang ‘.
b. Defenisi genetik
Suatu defenisi dikatakan bersifat genetik jika defenisi ini menunjukan adanya pengungkapan cara terjadinya atau membentuknya konsep yang didefenisikan, perhatikan defenisi ini :
. Trapesium adalah segiempat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya.
. Jaring-jaring limas adalah bangun yang terjadi jika sisi limas direbahkan dengan poros rusuk alas hingga sampai ke bidang pemuat alasnya.
c. Defenisi dengan rumus
Suatu defenisi tidak selalu dinyatakan dengan ungkapan bebentuk kalimat biasa, dapat juga diungkapkan dengan kalimat matematika. Dengan demikian dapat berbentuk suatu rumus.
Perhatikan :
. Dalam ilmu bilangan atau lapangan. a-b = a+(-b)
. Dalam aljabar, n! = 1.2.3.4………..(n-2)(n-1)n. dengan 0!= 1! = 1.
. Dalam aljabar f = {(a,b)|(a,b),(a,b’) dalam f maka b=b’}
2. Unsur-unsur suatu defenisi
Perhatikan dua kalimat defenisi berikut :
. Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.
. Suatu segitiga adalah samasisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang.
Defenisi tersebut diatas dapat diperhatikan unsur-unsurnya :
a. latar belakangnya, dalam hal diatas adalah ‘bangun datar’
b. genusnya, dalam hal diatas adalah ‘ segitiga’
c. istilah yang didefenisikan, dalam hal diatas adalah ‘segitiga samasisi’
d. atributnya, dalam hal diatas adalah ‘ketiga sisinya sama’
terlihat bahwa untuk menentukan unsur-unsur suatu defenisi akan lebih mudah jika kalimat defenisinya seperti bentuk kedua, yaitu kata ‘ jika dan hanya jika’
hal itu akan lenih terasa bila akan menentukan atribut dari defenisi itu.
3. Intensi dan Ekstensi suatu defenisi
sekarang akan ditinjau segi lain dari defenisi. Perhatika beberapa defenisi dibawah ini.
a. Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama
b. Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama
c. Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sudutnya sama
d. Segitiga samasudut adalah segitiga yang ketiga sisinya sama.
Dari defenisi a dan b mendefenisikan hal yang sama, yaitu segitiga samasisi. Tetapi atribunya berbeda, yang satu mengutamakan perhatian pada ‘sisi’, sedangkan yang lain mengutamakan perhatian pada ‘sudut’.
Demikian juga defenisi c dan d, tetapi hal yang didefenisikan adalah segitiga samasudut.
Bagimana himpunan bangun segitiga yang didefenisikan keempatnya? Apakah himpunan baguan itu sama atau tidak? Adakah segitiga samasisi yang tidak samasudut? Adakah segitiga samasudut yang bukan segitiga samasisi? Tidak terlalu sulit untuk mnjawabnya bukan? Ya. Himpunan bangun segitiga yang didefenisikan keempat defenisi diatas adalah sama. Ini dikatakan bahwa keempat defenisi diatas memiliki EKSTENSI yang sama.dua atau lebih defenisi yang memiliki ekstensi sama (sering juga dikatakan jangkauannya sama) disebut defenisi ekuivalen.
Tetapi apa perbedaanya ?
Diatas telah dikatakan bahwa pengutamaan perhatian beda. Atribut yang satu mengutamakan sudut, sedang yangb lain mengutamakan sisi. Ini mengatakan bahwa defenisi a dan b memiliki ekstensi berbeda, pikirkan dua defenisi berikut :
. Bidang empat adalah bangun ruang yang bersisikan tiga segitiga.
. Limas segitiga adalah limas yang alasnya berupa segitiga.
PERNYATAAN BUKAN PANGKAL
Didepan telah dikenalkan aksioma yang juga dapat disebut pernyataan pangkal. Pernyataan yang disepakati atau tidak memerlukan pembuktian. Sekarang akan dibicarakan pernyataan ini, yang dapat diturunkan dari aksioma ataupun teorema sebelumnya.
Pada umumnya suatu teorema dapat dikatakan suatu implikasi(jika….maka……..)
1. Teorema dan menemukannya
Dibagian depan telah dikatakan bahwa suatu teorema atau sifat tidak selalu didapat dengan pemikiran deduktuf, tetapi juga mungkin ditemukan melalui pengalaman lapangan ataupun data empirik. Namun demikian akhirnya kebenarannya harus dapat dibuktikan dengan pola deduktif dalam strukturnya. Jadi suatu teorema atau suatu sifat dapat saja diperoleh melalui langkah-langkah induktif, baru kemudian dibuktikan dengan cara deduktif. Sifat-sifat suatu barisan dapat saja ditemukan secara coba-coba, baru kemudian dapat dibuktikan kebenarannya dengan cara induksi matematika . demikian juga beberapa teorema atau sifat dalam jaringan atau graph.
2. Teorema
Di atas telah dikemukakan bahwa suatu teorema pada umumnya suatu implikasi. Namun ada juga yang berupa biimplikasi. Berbeda dengan defenisi, kalimatnya harus selalu diartikan sebagai biimplikasi.
Dalam pembicaraan tentang teorema, termasuk didalamnya ‘lemma’ dan ‘corollary atau teorema akibat’. Apabila suatu teorema dipandang sebagai suatu implikasi, ‘ jika……...maka……’, dapat ditinjau unsur-unsurnya.
Unsur-unsur suatu teorema sedemikian adalah :
1. latar belakang, 2. hipotesis, 3. konsejuen.
Perhatikan teorema dibawah ini :
Jika sebuah segitiga samakaki, maka sudut-sudut alasnya sama.
Dengan menggunakan ‘jika….maka….’ ini akan lebih mudah menemukan unsur-unsur teorema tersebut.
a. latar belakangnya adalah segitiga
b. hipotesisnya adalah segitiga samakaki
c. konsekuensinya adalah sudut-sudut alasnya sama.
Dari contoh diatas, hipotesis suatu teorema dianggap bagian yang diketahui, sedangkan konsekuensi suatu teorema adalah bagian yang akan dibuktikan kebenaranya.
Sekarang teorema diatas ditulis secara lain :
Jika ABC sebuah segitiga, maka ABC sama kaki jika dan hanya jika sudut-sudut alasnya sama.
Apakah pernyataan terakhir sepenuhnya sama dengan pernyataan pertama???
Ya, memang tidak sepenuhnya sama. Kalau pernyataan pertamasecara simbolik dapat ditulis a ====> b, sedangkan pernyataan kedua secara simbolik dapat ditulis p===>(q<==>r).
Bentuk p===>(q<==>r) adalah senilai dengan p===>(q==>r) dan p===>(q<==r). bentuk terakhir ini senilai dengan (p dan q==>r) dan (p dan r ===>q).
Dengan demikian maka hipotesis dari pernyataan kedua yang dapat juga dipandang suatu teorema haruslah dilihat secara perbagian.

SELESAI